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PROBLEMAS DE CÁLCULO COMPUTACIONAL (2$^{\circ}$ Físicas)
HOJA 2



  1. Usar el método de la bisección para calcular la raíz positiva de $x^2+x -1=0$ en el intervalo $[0,1]$, con una aproximación de 2 decimales. ¿Cuántas iteraciones serián necesarias para alcanzar una precisión de $10^{-16}$

  2. Sea la función

    \begin{displaymath}f(x)= \frac{2-e^x +x^2}{3}\end{displaymath}

    que es monótona en el intervalo $[0,1]$. La iteración de punto fijo $x_{n+1}=f(x_n)$, es convergente?. De ser así, cuántas iteraciones son necesarias para obtener una aproximación a la raiz con un error menor o igual que $10^{-3}$?

  3. Al aplicar el método de Newton para encontrar la raíz $x=0$ de sen$(x)=0$, ¿cuál es el intervalo de valores iniciales $x_0\in [-r,r]$ para los cuáles el método converge a $x=0$?. Determinar $[-r,r]$ lo más grande que se pueda.

  4. Sea $z=\frac{1+x+x^2-x^3}{(1-x)^3}$. Consideremos el problema de obtener los valores de $x$ tales que $z=1/2$.

  5. Elegir el valor de $\lambda $ de modo que el método iterativo de punto fijo

    \begin{displaymath}x_{n+1}= \frac{1}{1+\lambda }\left(\frac{2^{x_n} +1}{5}+\lambda x_n\right)\end{displaymath}

    converja rápidamente a la raiz de la ecuación $2^x-5x+1=0$, en las proximidades de $x=0.1$. Calcular los primeros terminos de la sucesión empezando por $x_0=0.1$

  6. Consideremos la ecuación logística, $x=g_c(x)\equiv cx(1-x)$, siendo $c$ una constante no nula. Esta ecuación tiene dos soluciones, $x=0$ y $x=\alpha_c$.¿Cuál es el valor de $\alpha_c$?. ¿Para qué valores de $c$ la iteración de punto fijo $x_{n+1}=g_c(x_n)$ converge a $\alpha_c$. Esta ecuación es muy utilizada en teoría de Caos por su comportamiento para valores de $c$ superiores al intervalo donde el metodo iterativo converge. Para observar este comportamiento, variar ligeramente $c$ para valores mayores que el rango de convergencia (mantener $c<4$) y estudiar el comportamiento de las iteraciones sobre un número grande de las mismas ($n$).

  7. Usar el método de deflacción para encontrar todas las raíces del polinomio siguiente

    \begin{displaymath}p(x)=x^4 -10x^3 +35x^2-50x +24\end{displaymath}




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Gustavo Yepes Alonso 2003-11-06