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PROBLEMAS DE CÁLCULO COMPUTACIONAL (2$^{\circ}$ Físicas)
HOJA 3




  1. Demostrar, usando eliminación de Gauss, que el sistema de ecuaciones:

    \begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{r r r }
1 & 3 & 2 \\
2 & 2 & -1 \\
3 ...
...ght]
=
\left[\begin{array}{r}
-1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right]
\end{displaymath}

    no tiene solución.

  2. Demostrar que método de Gauss-Seidel para el sistema

    \begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{r r }
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array}\righ...
...ay}\right]
=
\left[\begin{array}{r}
4 \\ 5 \end{array}\right]
\end{displaymath}

    produce el siguiente proceso iterativo

    \begin{displaymath}
\mathbf{x^{k+1}} =
\left[ \begin{array}{r r }
0 & -\frac{1}...
...+
\left[\begin{array}{r}
2 \\ \frac{3}{2} \end{array}\right].
\end{displaymath}

    Ver si este proceso iterativo es convergente y decir a qué tiende $\mathbf{x^{k}}$ para $k\to \infty $. SI se define el vector de error $\mathbf {e^K = x-x^k}$, demostrar que se cumple

    \begin{displaymath}
\mathbf{e^{k+1}} =
\left[ \begin{array}{r r }
0 & -\frac{1}{2} \\
0 & \frac{1}{4}
\end{array}\right]
\mathbf{e^{k}}.
\end{displaymath}

    Si partimos de $\mathbf{x^0=0}$, ¿cuántas iteraciones hacen falta para reducir el error en un factor 10?.

  3. Resolver el sistema de ecuaciones siguiente por el método de eliminación de Gauss con pivote parcial y total.

    \begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{r r r r }
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 &...
...
=
\left[\begin{array}{r}
2 \\ 6 \\ 2 \\ -8 \end{array}\right]
\end{displaymath}


  4. Comprobar que los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel no se pueden usar para resolver el sistema

    \begin{displaymath}
\left[ \begin{array}{r r r }
1 & 6 & -1 \\
0 & 2 & 5 \\
4 ...
...ght]
=
\left[\begin{array}{r}
9 \\ -3 \\ 7 \end{array}\right]
\end{displaymath}

    en el orden dado. Sugerir una reordenación de las ecuaciones que lleve a la solución convergente. ¿Cuál es el ritmo de convergencia de la solución ( $\Vert e^{k+1}\Vert/\Vert e^K\Vert$)?





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Gustavo Yepes Alonso 2003-11-17