next up previous
Next: About this document ...

PROBLEMAS DE CÁLCULO COMPUTACIONAL (2$^{\circ}$ Físicas)
HOJA 5



INTEGRACIÓN NUMÉRICA
  1. Dar una cota superior al error que se comete al estimar la integral

    \begin{displaymath}\int_0^8 (3x^2-x+1)dx\end{displaymath}

    mediante la fórmula del trapecio. \textquestiondownCuánto vale si se aplica la fórmula de Simpson?.

  2. \textquestiondownCuántos subintervalos serían necesarios para encontrar un valor numérico de la integral anterior con un error de $6\times 10^{-8}$ mediante la fórmula compuesta del rectángulo derecho?.

  3. Considerar el polinomio $p(x)=x^3+2x^2+3x+1$. Explicar por qué la regla de Simpson da un valor exacto para la integral

    \begin{displaymath}
\int_{-1}^{1} p(x)dx = \frac{10}{ 3 }
\end{displaymath}

    independiente del número de subintervalos que se usen.

  4. Estimar el valor de

    \begin{displaymath}
\int_0^1 e^{\sin x} dx
\end{displaymath}

    usando integración de Romberg hasta cuarto grado ($k=4$).




    DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA




  5. Calcular el error que se comete al estimar la derivada de una función tabulada $(f_0=f(x_0), f_1=f(x_1), f_2=f(x_2),..f_n$), con $x_j=x_0+jh$ mediante la siguiente expresión


    \begin{displaymath}
f_0'\approx \frac{-3f_0+4f_1-f_2}{2h}
\end{displaymath}

  6. Demostrar que la regla de diferenciación

    \begin{displaymath}
f'(x_0)\approx a_0f_0+a_1f_1+a_2f_2
\end{displaymath}

    con $f_0=f(x_0), f_1=f(x_1),f_2=f(x_2)$, donde $x_1=x_o+h$ y $x_2=x_1+h$, es exacta para cualquier polinomio de grado 2, simpre que se eligan los parámetros $a_0$, $a_1$ y $a_2$ de modo que la fórmula se cumpla para $f(x)=1; f(x)=x $ y $f(x)=x^2$. Hallar el valor de estos parámetros.

  7. Sea una función $f(x)$ evaluada en los puntos $x_j=x_0+jh$, con $h>0$. Usar el polinomio que interpola $f(x)$ en $n$ puntos, $P_n(x)$, para encontrar la fórmulas que aproximen a $f'(x)\approx
P'_n(x)$, con $n=1,2,3,4$.




next up previous
Next: About this document ...
Gustavo Yepes Alonso 2003-12-23